Answer
$$y = 3 (x^{2} + 8)^{\frac{2}{3}} + C $$
$$ C=-12 $$
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$$\frac{dy}{dx} = 4x (x^{2} + 8)^{\frac{-1}{3}} , y (0) = 0 $$
$\frac{dy}{dx} = 4x (x^{2} + 8)^{\frac{-1}{3}}$
$ dy = 4x (x^{2} + 8)^{\frac{-1}{3}} dx $
$u = x^{2} +8 $
$ du = (2x)dx $ , $ 2du= (4x)dx $
$dy = 4x (x^{2} + 8)^{\frac{-1}{3}} dx$
Replace u and du
$dy = 2du (u)^{\frac{-1}{3}} $
$\int dy = \int 2du (u)^{\frac{-1}{3}}$
$ y= 2 \int (u)^\frac{-1}{3} $
$ 2 \int \frac{u^{\frac{-1}{3}+1}}{\frac{-1}{3}+1} $
$ 2 * \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C$
$ 2 * \frac{3u^{\frac{2}{3}}}{2} + C $
$ 3u^{\frac{2}{3}} + C $
Replace u
$ y = 3(x^{2} +8)^{\frac{2}{3}} + C $
$$ y = 3(x^{2} +8)^{\frac{2}{3}} + C $$
$y(0)=0$
$ 0 = 3(0^{2} +8)^{\frac{2}{3}} + C $
$ 0 = 3(4) + C $
$ 0 = 12 + C $
$ C=-12 $
$$ C=-12 $$
