Answer
$$\frac{1}{2}{e^x}sinx - \frac{1}{2}{e^x}\cos x + C$$
Work Step by Step
$$\eqalign{
& \int {{e^x}\sin x} dx \cr
& {\text{substitute }}u = sinx,{\text{ }}du = \cos xdx \cr
& dv = {e^x}dx,{\text{ }}v = {e^x} \cr
& {\text{use integration by parts}} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = {e^x}sinx - \int {\left( {{e^x}} \right)\left( {\cos xdx} \right)} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = {e^x}sinx - \int {{e^x}\cos xdx} \cr
& {\text{substitute }}u = \cos x,{\text{ }}du = - \sin xdx \cr
& dv = {e^x}dx,{\text{ }}v = {e^x} \cr
& {\text{use integration by parts}} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = {e^x}sinx - \left( {{e^x}\cos x - \int {\left( {{e^x}} \right)\left( { - \sin xdx} \right)} } \right) \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = {e^x}sinx - \left( {{e^x}\cos x + \int {{e^x}\sin xdx} } \right) \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = {e^x}sinx - {e^x}\cos x - \int {{e^x}\sin xdx} \cr
& {\text{solving for }}\int {{e^x}\sin xdx} \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx + \int {{e^x}\sin xdx} = {e^x}sinx - {e^x}\cos x \cr
& 2\int {{e^x}\sin x} dx = {e^x}sinx - {e^x}\cos x + C \cr
& \int {{e^x}\sin x} dx = \frac{1}{2}{e^x}sinx - \frac{1}{2}{e^x}\cos x + C \cr} $$
