Answer
$y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^2+C_{4}e^{-t}+C_{5}e^{\frac{1}{2}t}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+C_{6}e^{\frac{1}{2}t}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+\frac{1}{24}t^4$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}^{(6)}+{y}'''=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^6e^{rt}+r^3e^{rt}=0\\\\$
$r^6+r^3=r^3(r^3+1)=r^3(r+1)(r^2-r+1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1},r_{2},r_{3}=0\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{4}=-1\;\;\;\;or\;\;\;\;r_{5,6}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^3+C_{4}e^{-t}+C_{5}e^{\frac{1}{2}t}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+C_{6}e^{\frac{1}{2}t}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)}$
Let; $\;\;\;\;Y(t)=At^4+Bt^3$
${Y}'=4At^3+3Bt^2$
${Y}''=12At^2+6Bt$
${Y}'''=24At+6B$
${Y}^{(4)}=24A$
$Y^{(5)}=Y^{(6)}=0$
${y}^{(6)}+{y}'''=t$
$0+24At+6B=t$
$24At+6B=t \;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A=\frac{1}{24}\;\;\;,\;\;\;B=0\;\;\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;$
$\boxed{Y(t)=\frac{1}{24}t^4}$
The general solution :
$y(t)=y_{c}(t)+Y(t)$
$y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^2+C_{4}e^{-t}+C_{5}e^{\frac{1}{2}t}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+C_{6}e^{\frac{1}{2}t}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+\frac{1}{24}t^4$
