Answer
$y(t)=(t-4)cos(t)-(\frac{3}{2}t+4)sin(t)+3t+4$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}^{(4)}+2{y}''+{y}=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^4e^{rt}+2r^2e^{rt}+e^{rt}=0\\\\$
$r^4+2r^2+1=(r^2+1)^2=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1,2}=\pm i\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;\;,r_{3,4}=\pm i\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)+C_{3}tcos(t)+C_{4}tsin(t)}$
Let; $\;\;\;\;Y(t)=At+B$
${Y}'=A$
${Y}''={Y}'''={Y}^{(4)}$
${y}^{(4)}+2{y}''+{y}=3t+4$
$0+0+At+B=3t+4$
$At+B=3t+4 \;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A=3\;\;\;,\;\;\;B=4\;\;\;\;\;\;$
$\boxed{Y(t)=3t+4}$
The general solution :
$y(t)=y_{c}(t)+Y(t)$
$y(t)=C_{1}cos(t)+C_{2}sin(t)+C_{3}tcos(t)+C_{4}tsin(t)+3t+4$
$y(0)=C_{1}+4=0 \;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;C_{1}=-4$
${y}'(0)=C_{2}+C{3}+3=0 \;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;C_{3}=-3-C_{2}$
${y}''(0)=4+C_{4}+C_{4}=1\;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;C_{4}=\frac{-3}{2}$
${y}'''(0)=-C_{2}-3C_{3}=1$
$C_{1}=-4\;\;\;\;\;,\;\;\;C_{2}=-4\;\;\;\;,\;\;\;\;C_{3}=1\;\;\;\;,\;\;\;\;C_{4}=\frac{-3}{2}$
$y(t)=-4cos(t)-4sin(t)+tcos(t)-\frac{3}{2}tsin(t)+3t+4$
$y(t)=(t-4)cos(t)-(\frac{3}{2}t+4)sin(t)+3t+4$
