Answer
$y(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t}+cos(t)$
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Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}'''-{y}'=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^3e^{rt}-re^{rt}=0\\\\$
$r^3-r=r(r^2-1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=0\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;r_{2}=1\;\;,\;\;r_{3}=-1\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t}}$
Let; $\;\;\;\;Y(t)=Acos(t)+Bsin(t)$
${Y}'=-Asin(t)+Bcos(t)$
${Y}''=-Acos(t)-Bsin(t)$
${Y}'''=Asin(t)-Bcos(t)$
${Y}'''-{Y}'=2sin(t)$
$Asin(t)-Bcos(t)+Asin(t)-Bcos(t)=2sin(t)$
$2Asin(t)-Bcos(t)=2sin(t) \;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A=1\;\;\;,\;\;\;B=0\;\;\;\;\;\;$
$\boxed{Y(t)=cos(t)}$
The general solution :
$y(t)=y_{c}(t)+Y(t)$
$y(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t}+cos(t)$
