Answer
$y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)+\frac{1}{2}te^{-t}+4(t-1)$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}'''+{y}''+{y}'+y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^3e^{rt}+r^2e^{rt}+re^{rt}+e^{rt}=0\\\\$
$r^3+r^2+r+1=(r^+1)(r^2+1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=-1\;\;\;\;\;\;\;or\;\;\;r_{2},r_{3}=\pm i\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}e^{-t}+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)}$
Let; $\;\;\;\;Y(t)=Ate^{-t}+Bt+C$
${Y}'=Ae^{-t}-Ate^{-t}+B$
${Y}''=-2Ae^{-t}+Ate^{-t}$
${Y}'''=3Ae^{-t}-Ate^{-t}$
${Y}'''+{Y}''+{Y}'+Y=e^{-t}+4t$
$3Ae^{-t}-Ate^{-t}-2Ae^{-t}+Ate^{-t}+Ae^{-t}-Ate^{-t}+B+Ate^{-t}+Bt+C=e^{-t}+4t$
$2Ae^{-t}+Bt+B+C=e^{-t}+4t \;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A=\frac{1}{2}\;\;\;,\;\;\;B=4\;\;\;,\;\;\;C=-4$
$\boxed{Y(t)=\frac{1}{2}te^{-t}+4t-4}$
The general solution :
$y(t)=y_{c}(t)+Y(t)$
$y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}cos(t)+C_{3}sin(t)+\frac{1}{2}te^{-t}+4(t-1)$
