Answer
$y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}cos(t)+C_{4}sin(t)-3t-\frac{1}{4}tsin(t)$
Work Step by Step
Let $\;\;\;\;\;y=e^{rt}\\\\$
${y}^{(4)}-y=0 \;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\; r^4e^{rt}-e^{rt}=0\\\\$
$r^4-1=(r^2+1)(r^2-1)=0 $
$ \rightarrow\;\;\;\;\; r_{1}=1\;\;,\;\;r_{2}=-1\;\;\;\;\;or\;\;\;r_{3},r_{4}=\pm i\;\;\;\;\;\\\\$
$\boxed{y_{c}(t)= C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}cos(t)+C_{4}sin(t)}$
Let; $\;\;\;\;Y(t)=At+Ctcos(t)+Btsin(t)$
${Y}'=A-Ctsin(t)+Bsin(t)+Ccos(t)+Btcos(t)$
${Y}''=-Btcos(t)-Ctsin(t)-2Bsin(t)-2Ccos(t)$
${Y}'''=Btsin(t)-Ctcos(t)-3Bsin(t)-3Ccos(t)$
${Y}^{(4)}=Btcos(t)+Ctsin(t)+4Bsin(t)-4Ccos(t)$
${Y}^{(4)}-Y=3t+cos(t)$
$Btcos(t)+Ctsin(t)+4Bsin(t)-4Ccos(t)-At-Btcos(t)-Ctsin(t)=3t+cos(t)$
$-At+4Bsin(t)-4Ccos(t)=3t+cos(t) $$\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;A=-3\;\;\;,\;\;\;B=\frac{-1}{4}\;\;\;,\;\;\;C=0$
$\boxed{Y(t)=-3t-\frac{1}{4}tsin(t)}$
The general solution :
$y(t)=y_{c}(t)+Y(t)$
$y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}cos(t)+C_{4}sin(t)-3t-\frac{1}{4}tsin(t)$
