Answer
The inverse matrix of the provided matrix is ${{A}^{-1}}=\left[ \begin{matrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right]$.
Work Step by Step
Consider the given matrix $ A=\left[ \begin{matrix}
2 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{matrix} \right]$.
Compute the matrix of the form:
$\left[ \left. A \right|I \right]$
The augmented matrix with identity is:
$\left[ \left. A \right|I \right]=\left[ \begin{matrix}
2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]$
Now, by using the row operations we will reduce the matrix into row-echelon form for the inverse as below:
$\begin{align}
& {{R}_{4}}\to \frac{1}{2}\times {{R}_{4}}, \\
& {{R}_{1}}\to {{R}_{1}}-1\times {{R}_{4}}, \\
& {{R}_{3}}\to 1\times {{R}_{3}}, \\
& {{R}_{1}}\to \frac{1}{2}\times {{R}_{1}} \\
\end{align}$
The resulting matrix is:
$\begin{align}
& \left[ \left. A \right|I \right]=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right] \\
& =\left[ \left. I \right|B \right]
\end{align}$
Where ${{A}^{-1}}=\left[ B \right]$
So, the inverse of the matrix is:
${{A}^{-1}}=\left[ \begin{matrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right]$
Now, check the result for
$ A{{A}^{-1}}={{I}_{4}}$ And ${{A}^{-1}}A={{I}_{4}}$
Here, $ A=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]$ and ${{A}^{-1}}=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]$
So, $\begin{align}
& A{{A}^{-1}}=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right] \\
& =\left[ \begin{matrix}
1\times 1+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 \\
0+0+0+0 & 0+\left( -1 \right)+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 \\
0+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+3\times \frac{1}{3}+0 & 0+0+0+0 \\
1+0+0+1\times \left( -1 \right) & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+1 \\
\end{matrix} \right] \\
& =\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right] \\
& ={{I}_{4}}
\end{align}$
And, $\begin{align}
& {{A}^{-1}}A=\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right] \\
& =\left[ \begin{matrix}
1+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 \\
0+0+0+0 & 0+1+0+0 & 0+0+3+0 & 0+0+0+0 \\
0+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+1+0 & 0+0+0+0 \\
\left( -1 \right)+0+0+1 & 0+0+0+0 & 0+0+0+0 & 0+0+0+1 \\
\end{matrix} \right] \\
& =\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right] \\
& ={{I}_{4}}
\end{align}$
Hence, $ A{{A}^{-1}}={{I}_{4}}$ and ${{A}^{-1}}A={{I}_{4}}$.
