Answer
$\lim\limits_{x \to \infty}(x-\sqrt{x})=\infty$
Work Step by Step
$\lim\limits_{x \to \infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x \to \infty}(x-\sqrt{x})\times \frac{x+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$
$=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-x}{x+\sqrt{x}}$
$=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-x}{x+\sqrt{x}}\times \frac{1/x}{1/x}$
$=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x-1}{1+1/\sqrt{x}}$ (Use the properties of limits)
$=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}x-\lim\limits_{x \to \infty}1}{\lim\limits_{x \to \infty}1+\lim\limits_{x \to \infty}1/\sqrt{x}}$ (Use the limits $\lim\limits_{x \to \infty}x=\infty$ and $\lim\limits_{x \to \infty}1/\sqrt{x}=0$)
$=\frac{\infty-1}{1+0}$
$=\frac{\infty-1}{1}$
$=\infty$
Thus, $\lim\limits_{x \to \infty}(x-\sqrt{x})=\infty$.
