Answer
$\lim\limits_{q \to \infty}\frac{q^3+6q-4}{4q^2-3q+3}=\infty$
Work Step by Step
$\lim\limits_{q \to \infty}\frac{q^3+6q-4}{4q^2-3q+3}=\lim\limits_{q \to \infty}\frac{q^3+6q-4}{4q^2-3q+3}\times \frac{1/q^2}{1/q^2}$
$=\lim\limits_{q \to \infty}\frac{q+6/q-4/q^2}{4-3/q+3/q^2}$ (Use the properties of limits)
$=\frac{\lim\limits_{q \to \infty}q+\lim\limits_{q \to \infty}6/q-\lim\limits_{q \to \infty}4/q^2}{\lim\limits_{q \to \infty}(4-3/q+3/q^2)}$ (Use the limits $\lim\limits_{q \to \infty}q=\infty$ and $\lim\limits_{q \to \infty}k/q^n=0$ for $n=1,2,...$)
$=\frac{\infty+0-0}{4-0+0}$
$=\frac{\infty}{4}$
$=\infty$
Thus, $\lim\limits_{q \to \infty}\frac{q^3+6q-4}{4q^2-3q+3}=\infty$.