Answer
$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}=-\infty$
Work Step by Step
$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}\times \frac{1/x^4}{1/x^4}$
$=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2x-1/x^3}{1+3/x^4}$ (Use the properties of limits)
$=\frac{2\lim\limits_{x \to -\infty}x-\lim\limits_{x \to -\infty}1/x^3}{\lim\limits_{x \to -\infty}(1+3/x^4)}$ (Use the limits $\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\infty$ and $\lim\limits_{x \to -\infty}k/x^n=0,\ n\in\mathbb{N}$)
$=\frac{2\cdot (-\infty)-0}{1+0}$
$=\frac{-\infty}{1}$
$=-\infty$
Thus, $\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}=-\infty$.
