Answer
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Work Step by Step
a) We form
$S=\begin{bmatrix}
s_1,s_2,s_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x & -y &-z \\0& y & 2z\\x & -y &z
\end{bmatrix}$
then $AS=\begin{bmatrix}
2 & 2 & 1\\2&5&2\\1&2&2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-x & -y &-z \\0& y & 2z\\x & -y &z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x & -y &7z \\0& y & 14z\\x & -y & 7z
\end{bmatrix}$
b) Obtain $S^TAS\\=S^T(AS)\\=\begin{bmatrix}
-x &0 &x\\-y&y &-y\\z & 2z& z
\end{bmatrix}(\begin{bmatrix}
2 &2&1\\2 & 5 &2\\1 &2&2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-x & -y & z\\0 &y &2z \\x&-y &z
\end{bmatrix})\\
=\begin{bmatrix}
-x &0 &x\\-y&y &-y\\z & 2z& z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-x & -y &7z\\0&y&14z\\x&-y&7z
\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}
2x^2 &0 & 0\\0 & 3y^2&0 \\ 0& 0 &42z^2
\end{bmatrix}$
Since $S^TAS=diag(1,1,7)=\begin{bmatrix}
1 &0 & 0\\0 &1 & 0\\0& 0&7
\end{bmatrix}$
we have:
$2x^2=1 \rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt 2}\\
3y^2=1 \rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt 3}\\
42z^2=7 \rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt 6}$
