Answer
See below
Work Step by Step
$\begin{bmatrix}
A_1,A_2
\end{bmatrix}=A_1A_2-A_2A_1=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 & i\\i &0
\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 &-1\\1 &0
\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 &-1\\1 &0
\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 &i\\i &0
\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
i&0\\0 & -i
\end{bmatrix}-\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
-i &0\\0 &i
\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
2i &0\\0 &-2i
\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
i &0\\0 &-i
\end{bmatrix}=A_3$
$\begin{bmatrix}
A_2,A_3
\end{bmatrix}=A_2A_3-A_3A_2=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 & -1\\1 &0
\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
i&0\\0& -i
\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
i &0\\0 &-i
\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 & -1\\1 &0
\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
0&i\\i & 0
\end{bmatrix}-\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
-i &0\\0 &i
\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
i &0\\0 &-i
\end{bmatrix}=A_1$
$\begin{bmatrix}
A_3,A_1
\end{bmatrix}=A_3A_1-A_1A_3=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
i&0\\0&-i\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0& i\\ i&0
\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 &i\\i &0
\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
i & 0\\ 0 &-i
\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
0&-1\\-1 & 0
\end{bmatrix}-\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
0&1\\1 & 0
\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
0& -2\\2 & 0
\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0&-1\\1 & 0
\end{bmatrix}$
