Answer
See answers below
Work Step by Step
$A^2=A.A=\begin{bmatrix}
-1 &0 &4\\
1 & 1 & 2\\
-2 &3 & 0
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
-1 &0 &4\\
1 & 1 & 2\\
-2 &3 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-7 &12 &-4\\
-4 & 7 & 6\\
5 &3 & -2
\end{bmatrix}$
$A^3=A^2.A=\begin{bmatrix}
-7 &12 &-4\\
-4 & 7 & 6\\
5 &3 & -2
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
-1 &0 &4\\
1 & 1 & 2\\
-2 &3 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
27 &0 &-4\\
-1 & 25 & -2\\
2&-3 & 26
\end{bmatrix}$
Hence $A^3+A-26I_2=\begin{bmatrix}
27 &0 &-4\\
-1 & 25 & -2\\
2&-3 & 26
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
-1 &0 &4\\
1 & 1 & 2\\
-2 &3 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
26&0 & 0\\
0 &26&0\\
0 &0 & 26
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0&0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$
