Answer
See below
Work Step by Step
We have:
$\sigma_1 \sigma_2=\begin{bmatrix}
0&1\\1&0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 &-i\\i &0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
i &0\\0 & -i
\end{bmatrix}=i\sigma_3$
$\sigma_2 \sigma_3=\begin{bmatrix}
0 &-i\\i &0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0\\0&-1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 &i\\i & 0
\end{bmatrix}=i\sigma_1$
$\sigma_3\sigma_1=\begin{bmatrix}
1&0\\0 &-1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&1\\1&0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 &1\\ -1 &0
\end{bmatrix}=i\sigma_2$
