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$\begin{bmatrix}
A_1,A_2
\end{bmatrix}=A_1A_2-A_2A_1=\begin{bmatrix}
1 & 0\\0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 &1\\0 &0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 &1\\0 &0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 &0\\0 &1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 &1\\0 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 &1\\0 &0
\end{bmatrix}$
$A_1$ and $A_3$ commute.
$\begin{bmatrix}
A_1,A_3
\end{bmatrix}=A_1A_3-A_3A_1=\begin{bmatrix}
1 & 0\\ 0 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 &0\\1&0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 &0 \\1&0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0\\ 0&1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0&0\\1&0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0&0\\1&0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 0 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}$
$A_1$ and $A_3$ commute.
$\begin{bmatrix}
A_2,A_3
\end{bmatrix}=A_2A_3-A_3A_2=\begin{bmatrix}
0&1\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&0\\1&0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0&0 \\1&0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&1\\0& 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\0& 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 &0\\0&1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 &0\\0&-1
\end{bmatrix}$
Since $\begin{bmatrix}
A_3,A_2
\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}
A_2,A_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1&0\\0&1
\end{bmatrix}\ne 0_2$
Hence, $A_2$ and $A_3$ do not commute
