Answer
$A=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
-2 & -2
\end{bmatrix}$ or $A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
-2 & -1
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
Given: $A=\begin{bmatrix}
x & 1\\
-2 & y
\end{bmatrix}$
$A^2=AA=\begin{bmatrix}
x & 1\\
-2 & y
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
x & 1\\
-2 & y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x^2-2 & x+y\\
-2x-2y & y^2-2
\end{bmatrix}$
$A^2=A$
$A^2-A=0$
$\begin{bmatrix}
x^2-2 & x+y\\
-2x-2y & y^2-2
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x & 1\\
-2 & y
\end{bmatrix}=0$
$\begin{bmatrix}
x^2-x-2 & x+y-1\\
-2x-2y+2 & y^2-2-y
\end{bmatrix}=0$
$\rightarrow x^2-x-2=0$
$x=-1$ or $x=2$
and $y^2-2-y=0$
$y=-1$ or $y=2$
Substitute:
$A=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
-2 & -2
\end{bmatrix}$ or $A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
-2 & -1
\end{bmatrix}$
