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$A^2=A.A=\begin{bmatrix}
2 & -5\\
6 & -6
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
2 & -5\\
6 & -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-26 & 20\\
-24 & 6
\end{bmatrix}$
$4A=4\begin{bmatrix}
2 & -5\\
6 & -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
8 & -20\\
24 & -24
\end{bmatrix}$
Hence $A^2+4A+18I_2=\begin{bmatrix}
-26 & 20\\
-24 & 6
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
8 & -20\\
24 & -24
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
18 & 0\\
0 &18
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0&0
\end{bmatrix}$
