Answer
$\ln\frac{\sqrt x}{x+1}$
Work Step by Step
$\frac{1}{3}\ln(x+2)^3+\frac{1}{2}[\ln x-\ln(x^2+3x+2)^2]=\ln(x+2)^{3\times\frac{1}{3}}+\ln x^\frac{1}{2}-\ln(x^2+3x+2)^{2\times\frac{1}{2}}=\ln(x+2)+\ln x^\frac{1}{2}-\ln(x^2+3x+2)=\ln\frac{x^\frac{1}{2}(x+2)}{x^2+3x+2}=\ln\frac{x^\frac{1}{2}(x+2)}{(x+1)(x+2)}=\ln\frac{\sqrt x}{x+1}$
