Answer
$\int^b_a=\begin{bmatrix}
e-1 & 1-e^{-1} \\
2(e-1) & 5(1-e^{-1})
\end{bmatrix}$
Work Step by Step
Given: $A(t)=\begin{bmatrix}
e^t & e^{-t} \\
2e^t & 5e^{-t}
\end{bmatrix}$
The antiderivative of the matrix function is given by:
$\int^b_aA(t)dt=\int^b_aa_{ij}(t)dt$
Hence here, $\int^b_a=\int^1_0\begin{bmatrix}
e^t & e^{-t} \\
2e^t & 5e^{-t}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e & -e^{-1} \\
2e &-5e^{-1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e-1 & 1-e^{-1} \\
2(e-1) & 5(1-e^{-1})
\end{bmatrix}$
