Answer
$f \circ g$: $D_{f\circ g}=\{x|x \geq 3\}$,
$ g \circ f$: $D_{g\circ f}=\{x|x \in (-\infty, -\sqrt 3) \cup (\sqrt 3, \infty)\}$,
$ f \circ f$: $D_{f\circ f}=\{x|x \in \mathbb{R} \}$,
$ g \circ g$: $D_{g\circ g}=\{x|x \geq 12\}$
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$f(x)=x^2$,
$D_f=\{x|x \in \mathbb{R} \}$
$g(x)=\sqrt {x-3}$,
$D_g=\{x|x \geq 3 \}$,
$f(g(x))=(\sqrt {x-3})^2=x-3$
$D_{f\circ g}=\{x|x \geq 3\}$
$g(f(x))=\sqrt {x^2-3}$
$D_{g\circ f}=\{x|x \in (-\infty, -\sqrt 3) \cup (\sqrt 3, \infty)\}$,
$f(f(x))=(x^2)^2=x^4$
$D_{f\circ f}=\{x|x \in \mathbb{R} \}$,
$g(g(x))=\sqrt {\sqrt {x-3}-3}$
$\sqrt {x-3}-3\geq 0$
$\sqrt {x-3}\geq 3$
$x-3\geq 9$
$x\geq 12$
$D_{g\circ g}=\{x|x \geq 12\}$
