Answer
First Derivative: $r'=\frac{-12}{θ^{2}}+\frac{12}{θ^{4}}-\frac{4}{θ^{5}}$
Second Derivative: $r''=\frac{24}{θ^{3}}-\frac{48}{θ^{5}}+\frac{20}{θ^{6}}$
Work Step by Step
Using the Power Rule:
First Derivative:
$r=\frac{12}{θ}-\frac{4}{θ^{3}}+\frac{1}{θ^{4}}$
$r'=(-1)(12)θ^{-1-1}-(-3)(4)θ^{-3-1}+(-4)θ^{-4-1}$
$r'=-12θ^{-2}+12θ^{-4}-4θ^{-5}$
$r'=\frac{-12}{θ^{2}}+\frac{12}{θ^{4}}-\frac{4}{θ^{5}}$
Second Derivative:
$r'=\frac{-12}{θ^{2}}+\frac{12}{θ^{4}}-\frac{4}{θ^{5}}$
$r''=(-2)(-12)θ^{-2-1}+(-4)(12)θ^{-4-1}-(-5)(4)θ^{-5-1}$
$r''=24θ^{-3}-48θ^{-5}+20θ^{-6}$
$r''=\frac{24}{θ^{3}}-\frac{48}{θ^{5}}+\frac{20}{θ^{6}}$
