Answer
$$\ln |x|-\ln |x+2|+ \frac{2}{(x+2)}+ \frac{2}{(x+2)^{2}}+C$$
Work Step by Step
Given $$\int \frac{8 d x}{x(x+2)^{3}}$$
Since
\begin{align*}
\frac{8}{x(x+2)^{3}}&=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+2)^{2}}+\frac{D}{(x+2)^{3}}\\
&= \frac{A(x+2)^{3}+B x(x+2)^{2}+C x(x+2)+D x}{x(x+2)^{3}}\\
8&= A(x+2)^{3}+B x(x+2)^{2}+C x(x+2)+D x
\end{align*}
Then
\begin{align*}
\text{at } x&= 0\ \ \ \ \to A=1 \\
\text{at } x&= -2\ \ \ \ \to D=-4\\
\text{at } x&= 1\ \ \ \ \to 3B+C=-5\\
\text{at } x&= - 1\ \ \ \ \to -B-C=3\\
\end{align*}
Hence $B=-1,\ \ \ C= -2$ and
\begin{aligned}
\int \frac{8 d x}{x(x+2)^{3}} &=\int \frac{d x}{x}-\int \frac{d x}{(x+2)}-\int \frac{2 d x}{(x+2)^{2}}-\int \frac{4 d x}{(x+2)^{3}} \\
&=\int \frac{d x}{x}-\int \frac{d x}{(x+2)}-2 \int(x+2)^{-2} d x-4 \int(x+2)^{-3} d x\\
&=\ln |x|-\ln |x+2|+\frac{2}{(x+2)}+ \frac{2}{(x+2)^{2}}+C
\end{aligned}
