Answer
$W(1,t,e^{-t},te^{-t})(t)=e^{-2t}$
Work Step by Step
we verify the given functions are the solutions of the differential equation by plugging them into it:
$y=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;{1}^{(4)}+2({1})'''+({1})''=\;0+0+0=0\\\\$
$y=t\;\;\;\rightarrow \;\;\;({t})^{(4)}+2({t})'''+({t})''=\;0+0+0=0\\\\$
$y=e^{-t}\;\;\;\rightarrow \;\;\;{e^{-t}}^{(4)}+2({e^{-t}})'''+({e^{-t}})''=\;e^{-t}-2e^{-t}+e^{-t}=0\\\\$
$y=te^{-t}\;\;\;\rightarrow \;\;\;({te^{-t}})^{(4)}+2({te^{-t}})'''+({te^{-t}})''=\;-4e^{-t}+te^{-t}+2(3e^{-t}-te^{-t})-2e^{-t}+te^{-t}=0\\\\$
$W(1,t,e^{-t},te^{-t})(t)=\begin{vmatrix}
1 &t & e^{-t} & te^{-t}\\
{1}' &{t}' & ({e^{-t}})' & ({te^{-t}})'\\
{1}'' &{t}''& ({e^{-t}})'' & ({te^{-t}})''\\
{1}'''&{t}'''& ({e^{-t}})'''& ({te^{-t}})'''
\end{vmatrix}\;\;=$
$\;\;\begin{vmatrix}
1 & t& cos(t) & sin(t)\\
0& 1&-e^{-t} & e^{-t}-te^{-t}\\
0 & 0 &e^{-t} & -2e^{-t}+te^{-t}\\
0 &0& -e^{-t} & 3e^{-t}-te^{-t}
\end{vmatrix}\;\;=$
$\;\;1.\begin{vmatrix}
1&-e^{-t} & e^{-t}-te^{-t} \\
0 &e^{-t} & -2e^{-t}+te^{-t}\\
0& -e^{-t} & 3e^{-t}-te^{-t}
\end{vmatrix}\;=\;1.\begin{vmatrix}
e^{-t} & -2e^{-t}+te^{-t} \\
-e^{-t} & 3e^{-t}-te^{-t}
\end{vmatrix}\;=$
$\;1.[3e^{-2t}-te^{-2t}\;-2e^{-2t}-te^{-2t}]\;=\;e^{-2t}\\\\$
$W(1,t,e^{-t},te^{-t})(t)=e^{-2t}$
