Answer
$$ g_{xyz}= 3xyz(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}.$$
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Since $ g(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, then using the chain rule, we have
$$ g_{x}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=x(x^2+y^2+z^2)^{-1/2},$$
$$ g_{xy}= -\frac{1}{2}x(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}(2y)=-xy(x^2+y^2+z^2)^{-3/2},$$
$$ g_{xyz}=\frac{3}{2}xy(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}(2z)=3xyz(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}.$$
