Answer
$$ f^{(n)}(x)=(-1)^n (n)! \ (x+2)^{-(n+1)}.$$
Work Step by Step
Since $ f(x)=(x+2)^{-1}$, then we have
$$ f'(x)=(-1)(x+2)^{-2},\quad f''(x)=(-1)(-2)(x+2)^{-3}, \quad f'''(x)=(-1)(-2)(-3)(x+2)^{-4}, \cdots,$$
Hence, we get the general formula for $ f^{(n)}(x)$ as follows
$$ f^{(n)}(x)=(-1)^n (n)! \ (x+2)^{-(n+1)}.$$
